\documentclass[answers,12pt]{exam}
\usepackage{amsmath,amssymb,epsfig}
% THEOREM Environments ---------------------------------------------------
\newtheorem{thm}{Theorem}
\newtheorem{cor}{Corollary}
\newtheorem{lem}{Lemma}
\newtheorem{prop}{Proposition}
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\parindent = 3mm
\newtheorem{Exercice}{Exercice}
\newenvironment{exo}{\begin{Exercice}$\;\\$}
{\end{Exercice}}
\def\E{\mathbb{E}}\def\V{\mathbb{V}}
\def\K{\mathbb{K}}\def\R{\mathbb{R}}\def\C{\mathbb{C}} \def\Z{\mathbb{Z}}\def\Q{\mathbb{Q}}\def\D{\mathbb{D}}\def\N{\mathbb{N}}
\def\F{\mathcal{F}}\def\M{\mathcal{M}}\def\S{\mathcal{S}}\def\A{\mathcal{A}}\def\B{\mathcal{B}}\def\P{\mathcal{P}}


\begin{document}
\lhead{IUT2 - Département informatique}
\rhead{Année universitaire }

\begin{center}

{\vspace{1cm}}{Mat 40 - TD 1}

\end{center}

\vspace*{1cm}

\begin{exo}
On donne la matrice $A=\begin{pmatrix}
4 & 3 & -3\\
-2 & -1 & 2\\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}$.
\begin{questions}
\question Calculer $B=A-I_3$, puis $B^2$.
\begin{solution}
$B=\begin{pmatrix}
3 & 3 & -3\\
-2 & -2 & 2\\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$ et $B^2=0$
\end{solution}
\question Trouver une expression de la matrice $A^2$ en fonction de $A$ et $I$.
\begin{solution}
Comme $A$ et $I$ commuttent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton. On a $B^2=A^2-2A+I=0$, ce qui donne $A^2=2A-I$
\end{solution}
\question En déduire que $A$ est une matrice régulière et calculer son inverse.
\begin{solution}
$A(2I-A)=(2I-A)A=I$ et donc $A$ est inversible et $A^{-1}=2I-A=\begin{pmatrix}
-2 & -3 & 3\\
2 & 3 & -2\\
-1 & -1 & 2
\end{pmatrix}$
\end{solution}
\end{questions}
\end{exo}

\begin{exo}
Démontrer que :
\begin{questions}
\question $A_n^{n-1}=n!$
\begin{solution}
$A_n^{n-1}=\frac{n!}{(n-(n-1))!}=n!$.
\end{solution}
\question Soit $n$ un entier supérieur à 2. Montrer que $\displaystyle\sum_{p=0}^{n-2} \frac{n!}{p!}$ est un entier pair.
\begin{solution}
$\displaystyle\sum_{p=0}^{n-2} \frac{n!}{p!} = n(n-1) \displaystyle\sum_{p=0}^{n-2} \frac{(n-2)!}{p!}$ avec $n(n-1)$ pair et $\frac{(n-2)!}{p!}$ un entier (car $p\leq n-2$). Leur demander également une démonstration par récurrence.
\end{solution}
\question Pour tout $n\in \N$ et $p\in\N$ tel que $0\leq p\leq n$, on a $C_n^p=C_n^{n-p}$.
\begin{solution}
$C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!}=\frac{n!}{(n-(n-p))!(n-p)!}=C_n^{n-p}$. 
\end{solution}
\question Pour tout $n\in \N$ et $p\in\N$ tel que $0\leq p\leq n$, on a $C_n^p=\frac np C_{n-1}^{p-1}$.
\begin{solution}
$C_n^p=\frac{n!}{p!(n-p)!} = \frac np \frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}=\frac np \frac{(n-1)!}{(p-1)!((n-1)-(p-1))!}=\frac np C_{n-1}^{p-1}$. 
\end{solution}
\question $C_n^2= 1+2+\ldots+(n-1)$.
\begin{solution}
$C_n^2= \frac{n(n-1)}{2}=1+2+\ldots+(n-1)$.
\end{solution}
\question Soit $n\geq 1$, montrer que pour $i\geq1$, $iC_n^i = nC_{n-1}^{i-1}$
\begin{solution}
$iC_n^i = i\frac{n!}{(n-i)!i!} = n\frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!} = n C_{n-1}^{i-1}$
\end{solution}
\question Soit $n\geq 2$, montrer que pour $i\geq2$, $i(i-1)C_n^i = n(n-1)C_{n-2}^{i-2}$
\end{questions}
\begin{solution}
$i(i-1)C_n^i =  n(n-1)\frac{(n-2)!}{(i-2)!(n-i)!} = n(n-1)C_{n-2}^{i-2}$
\end{solution}
\end{exo}

\begin{exo}
\begin{questions}
\question Calculer les puissances successives de la matrice
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 1 & 3\\
5 & 2 & 6\\
-2 & -1 & -3
\end{pmatrix}.
$$
\begin{solution}

\end{solution}
\question En déduire que $A$ n'est pas régulière.
\begin{solution}
\end{solution}
\end{questions}
\end{exo}\end{document}